Что значит "целая функция"

функция, аналитическая во всей плоскости комплексного переменного. Примерами целой функции служат многочлен a0 + a1z -... anzn, функции sin z, cos z.

функция, аналитическая во всей плоскости комплексного переменного (см. Аналитические функции ). Примерами Ц. ф. могут служить алгебраический многочлен a0 + a1z +... + anzn, функции sinz, cosz, ez. Бесконечно удалённая точка является, вообще говоря, изолированной особой точкой Ц. ф. Для того чтобы бесконечно удалённая точка была устранимой особой точкой (соответственно полюсом), для Ц. ф. f (z) необходимо и достаточно, чтобы f (z) была постоянна (соответственно была алгебраическим многочленом). Если точка z = ¥ является существенно особой точкой для Ц. ф. f (z), то f (z) называют трансцендентной Ц. ф. Таковы, например, функции sinz, cosz, ez.

Для того чтобы f (z) была Ц. ф., необходимо и достаточно, чтобы по крайней мере для одной точки z0 имело место соотношение

В этом случае разложение f (z) в ряд Тейлора

будет сходиться по всей плоскости комплексного переменного.

Основой для классификации трансцендентных Ц. ф. служит скорость роста М (r) функции, определяемой равенством

Величину

называют порядком Ц. ф. f (z). В трудах А. Пуанкаре , Ж. Адамара и Э. Бореля была установлена связь между порядком Ц. ф. и распределением её нулей.

Лит.: Маркушевич А. И., Целые функции, М., 1965.

Целая функция — функция, голоморфная во всей комплексной плоскости . Типичным примером целой функции может служить многочлен или экспонента , а также суммы, произведения и суперпозиции этих функций. Ряд Тейлора целой функции сходится во всей плоскости комплексного переменного. Логарифм, квадратный корень не являются целыми функциями.

Отметим, что целая функция может иметь особенность (в т.ч. даже существенную особенность ) в бесконечности. Как следует из теоремы Лиувилля , функция, которая не имеет особых точек на всей расширенной комплексной плоскости, должна быть постоянной (это свойство может быть использовано для элегантного доказательства основной теоремы алгебры ).

Целая функция, имеющая на бесконечности полюс , должна быть многочленом. Таким образом, все целые функции, не являющиеся многочленами имеют на бесконечности существенно особую точку. Такие функции называются трансцендентными целыми функциями.

Малая теорема Пикара значительно усиливает теорему Лиувилля: не равная тождественно постоянной целая функция принимает все комплексные значения, кроме, возможно, одного. Примером является экспоненциальная функция, принимающая в качестве значений все комплексные числа, кроме нуля.

Дж. Литлвуд в одной из своих книг указывает сигма-функцию Вейерштрасса в качестве «типичного» примера целой функции.